Medycyna nuklearna

Kalkulator

(wcześniej dostępny na www.nuk.bieganski.org)

Opcje ogólnomatematyczne i ogólnomedyczne

Średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe
Regresja punktów do linii prostej, współczynnik korelacji
Znajdowanie naturalnych dzielników
Największy wspólny dzielnik
Wielomiany
Obliczanie różnicy czasu
Szacowanie niektórych parametrów biometrycznych człowieka
Przeliczanie stężeń
Farmakokinetyczne modele kompartmentowe

Obliczenia związane z fizyką nuklearną

Przykłady zastosowań poniższych programów znajdują się tutaj.
Rozpad promieniotwórczy prosty (1 nuklid promieniotwórczy: A → B)
Rozpad promieniotwórczy seryjny (2 nuklidy promieniotwórcze: A → B → C)
Rozpad promieniotwórczy seryjny (3 nuklidy promieniotwórcze: A → B → C → D)
Przeliczanie jednostek aktywności (tradycyjnych na pochodne układu SI i odwrotnie)
Przeliczanie masy na aktywność i odwrotnie (jednostki masy na jednostki aktywności i odwrotnie)

Obliczenia związane z medycyną nuklearną

Instrukcja do poniższych programów znajduje się tutaj.
(1.) Obliczanie objętości tarczycy na podstawie wymiarów płatów
(2.) Obliczanie jednorazowego wychwytu (radio)izotopu (na przykład radiojodu w tarczycy)
(2a.) Obliczanie wychwytu radiojodu w tarczycy (Program można nagrać jako plik i uruchomić na innym komputerze, konieczna przeglądarka obsługująca HTML i JavaScript).
(3.) Wyliczanie dawki jodu promieniotwórczego (uproszczone)
(4.) Modelowanie kinetyczne I. (efektywny czas połowicznego zaniku, maksymalny wychwyt i in. - na podstawie serii pomiarów) - do leczenia izotopowego
(5.) Modelowanie kinetyczne II. (efektywny czas połowicznego zaniku, maksymalny wychwyt i in. - na podstawie trzech pomiarów) - do leczenia izotopowego
(6.) Obliczanie dawki jodu promieniotwórczego lub innego radionuklidu do leczenia (zmodyfikowany wzór Marinelli)
(7.) Dozymetria promieniowania α i β...
(8.) Natężenie i dawka promieniowania γ (w określonej odległości od źródła punktowego)

Wielomiany

Obliczanie miejsc zerowych równania liniowego, kwadratowego, sześciennego oraz równania czwartego (kwartycznego) i piątego stopnia (kwintycznego):
0= a₅·x⁵+a₄·x⁴+a₃·x³+a₂·x²+a₁·x¹+a₀·x⁰
Podaj współczynniki wielomianu (a₅, a₄, a₃, a₂, a₁, a₀):

Algorytmy

Algorytmy stosowane do obliczeń miejsc zerowych wielomianów stopni od 0 do 5 o wzorze ogólnym:
0= a₅·x⁵+a₄·x⁴+a₃·x³+a₂·x²+a₁·x¹+a₀·x⁰

Rówanie liniowe 0= a·x+b

Miejsce zerowe: x₀= -b/a.

Równanie kwadratowe 0= a·x²+b·x+c:

Wyznaczanie miejsc zerowych:
1. Obliczenie wyróżnika Δ= b²-4·a·c.
2. Trzy warianty:
- dla Δ>0: dwa pierwiastki rzeczywiste różne,
- dla Δ=0: pierwiastek podwójny (dwa równe),
- dla Δ<0: dwa pierwiastki zespolone.
3. Wyznaczanie wierzchołka funkcji (ekstremum) z pochodnej (2·a·x+b): x= -b/(2·a), y= -Δ/(4·a).
4. Wyznaczanie położenia ogniska (x= -b/(2·a), y= -Δ/(4·a)+1/(4·a)) oraz kierownicy (y= -Δ/(4·a)-1/(4·a)) paraboli.

Równanie sześcienne 0= a·x³+b·x²+c·x+d

1. Obliczanie wyróżnika Δ₃= -27·a²·d²+18·a·b·c·d-4·a·c³-4·b³·d+b²·c²,
a także parametrów "postaci kanonicznej": 0= y³+p·x+q (po podstawieniu x=y-b/(3·a)):
Δ_3b= Δ₃/(-27·a⁴),
p= c/a-b²/(3·a²),
q= 2·b³/(27·a²)-b·c/(3·a²)+d/a,
przy czym: Δ_3b= q²+4/27·p³.
2. Trzy warianty:
I. Δ₃<0 (istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty r):
r= {curt[-q/2+sqrt(Δ_3b)/2]+curt[-q/2-sqrt(Δ_3b)/2]}-b/(3·a)
(przy czym curt() to pierwiastek sześcienny),
rozkład na czynniki: 0= (x-r)·(a_q·x²+b_q·x+c_q),
gdzie: a_q= a, b_q= b+a·r, c_q= c+b·r+a·r².
II. Δ₃= 0 (istnieje pierwiastek wielokrotny):
Dwa warianty:
a) p= 0 i q= 0 (pierwiastek potrójny):
x_1,2,3= curt(d/a),
rozkład na czynniki: 0= a·(x-x_1,2,3)³;
b) p<0 i q>0 (pierwiastek podwójny):
x₃= 2·curt(-q/2)-b/(3·a); x_1,2= -curt(-q/2)-b/(3·a);
rozkład na czynniki: 0= a·(x-x_1,2)²·(x-x₃)
I. Δ₃>0 (istnieją trzy różne pierwiastki rzeczywiste):
Φ= atan2[sqrt(-Δ_3b),-q];
x₁, x₂, x₃ = 2/3·sqrt(-3·p)·cos(Φ/3+2·k·π/3)-b/(3·a) dla k= 0, 1 i 2,
rozkład na czynniki: 0= a·(x-x₁)·(x-x₂)·(x-x₃)
3. Obliczanie extremów z pochodnej (3·a·x²+2·b·x+c) i punktu przegięcia z drugiej pochodnej (6·a·x+2·b).

Równanie czwartego stopnia 0= a₄·x⁴+a₃·x³+a₂·x²+a₁·x+a₀

Wyróżnik: Δ₄= 256·a₄³·a₀³ -192·a₄²·a₃·a₁·a₀² -128·a₄²·a₂²·a₀² +144·a₄²·a₂·a₁²·a₀ -27·a₄²·a₁⁴ +144·a₄·a₃²·a₂·a₀² -6·a₄·a₃²·a₁²·a₀ -80·a₄·a₃·a₂²·a₁·a₀ +18·a₄·a₃·a₂·a₁³ +16·a₄·a₂⁴·a₀ -4·a₄·a₂³·a₁² -27·a₃⁴·a₀² +18·a₃³·a₂·a₁·a₀ -4·a₃³·a₁³ -4·a₃²·a₂³·a₀ +a₃²·a₂²·a₁²
1. Sprowadzanie do postaci unormowanej 0= a₄·(x⁴+a·x³+b·x²+c·x+d),
gdzie a= a₃/a₄, b= a₂/a₄, c= a₁/a₄, d= a₀/a₄.
Potem następuje rozkład na czynniki (wg algorytmu S. Shmakova, IJPAM, 2011):
0= (x²+g₁·x+h₁)·(x²+g₂·x+h₂), gdzie:
i: a= g₁+g₂
ii: b= h₁+h₂+g₁·g₂
iii: c= g₁·h₂+g₂·h₁
iiii: d= h₁·h₂
2. Rozwiązanie pośredniego równania sześciennego: 0= y³+(-b)·y²+(a·c-4·d)·y+(4·b·d-c²-a²·d)
Następuje według algorytmu podanego powyżej. Potrzebne jest tylko jedno rozwiązanie, które należy wybrać.
3. Rozwiązywanie pośrednich (pomocniczych) równań kwadratowych G i H:
G: 0= g²+(-a)·g+(b-y)
H: 0= h²+(-y)·h+(d)
Następuje według algorytmu podanego powyżej. Otrzymujemy w ten sposób cztery liczby:
g₁ i g₂ (rozwiązanie równania G) oraz h_k i h_n (rozwiązanie równania H).
4. Sprawdzenie, w jaki sposób liczby h_k oraz h_n spełniają równanie iii. W ten sposób wyznaczamy, która z liczb h_k oraz h_n odpowiada h₁ a która h₂.
W ten sposób rozłożono równanie czwartego stopnia na czynniki kwadratowe.
5. Znalezienie pierwiastków powyższych równań kwadratowych (według algorytmu równania kwadratowego) jest równoznaczne ze znalezieniem pierwiastków początkowego równania czwartego stopnia.
6. Obliczanie extremów z pochodnej i punktu przegięcia z drugiej pochodnej.

Równanie piątego stopnia 0= a₅·x⁵+a₄·x⁴+a₃·x³+a₂·x²+a₁·x+a₀

1. Sprowadzanie do postaci unormowanej 0= a₅·(x⁵+A·x⁴+B·x³+C·x²+D·x+E),
gdzie A= a₄/a₅, B= a₃/a₅, C= a₂/a₅, D= a₁/a₅, E= a₀/a₅.
2. Wyznaczanie przedziału, w którym znajdują się wszystkie pierwiastki, za pomocą twierdzenia Cauchy'ego:
ρ₂= 1+max(1,A,B,C,D,E).
Wszystkie pierwiastki muszą być zawarte w przedziale od -ρ₂ do +ρ₂;
ze względu na to, że mamy do czynienia z wielomianem unormowanym piątego stopnia, wartość funkcji dla -ρ₂ musi być ujemna, a dla +ρ₂ musi być dodatnia.
3. Iteracyjne przybliżanie wartości jednego z pierwiastków (x₅) za pomocą metody siecznych (bisection method):
3.1. Założenia wstępne: x₅₁= ρ₂, x₅₂= -ρ₂.
3.2. Oliczenie x₅: x₅= (x₅₁+x₅₂)/2.
3.3. Sprawdzanie wartości funkcji wielomianu unormowanego piątego stopnia dla znalezionego x₅:
3.3.1. Wartość funkcji = 0 →: opuszczenie pętli (znaleziono miejsce zerowe);
3.3.2. Wartość funkcji > 0 →: x₅→x₅₁, idź do punktu 3.2.;
3.3.3. Wartość funkcji < 0 →: x₅→x₅₂, idź do punktu 3.2.;
w ten sposób jeden z pierwiastków jest stopniowo przybliżany aż do osiągnięcia satysfakcjonującej dokładności.
Procedurę można uprościć, jeżeli E= 0. Wtedy x₅= 0, zaś a= A, b= B, c= C oraz d= D.
4. Po wyznaczeniu x₅ następuje rozłożenie wielomianu piątego stopnia na dwumian pierwszego stopnia i wielomian czwartego stopnia:
0= a₅·(x-x₅)·(x⁴+a·x³+b·x²+c·x+d), gdzie:
a= A+x₅,
b= B+A·x₅+x₅²,
c= C+B·x₅+A·x₅²+x₅³,
d= D+C·x₅+B·x₅²+A·x₅³+x₅⁴;
5. Rozwiązanie wielomianu czwartego stopnia (celem rozłożenia na czynniki kwadratowe i ew. znalezienia kolejnych pierwiastków) następuje według schematu podanego powyżej.
6. Obliczanie extremów z pochodnej i punktu przegięcia z drugiej pochodnej.

a₅	a₄	a₃	a₂	a₁	a₀